De stelling van Pythagoras
Introductie
De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die haar naam te danken heeft aan de Griekse wiskundige Pythagoras. De stelling was alleen nieuw voor de Grieken. In Soemerië was het al veel langer bekend. En ook In Babylonië en het oude Egypte werd deze stelling al eerder toegepast met name de verhouding van a=3, b=4, c=5 werd vroeg gebruikt om rechte hoeken mee te meten. Wat echt belangrijker was dan de kennis was het bewijs. Wat dat betreft waren de Grieken wel de eerste. Zij wisten niet alleen dat de stelling waar was maar ze konden ook aantonen waarom het waar was.
Over Pythagoras
Pythagoras werd geboren in Samos 575v.C. Pythagoras staat bekend als Grieks wijsgeer en hervormer. Hij is een van de raadselachtige figuren uit de Griekse geschiedenis. Hij leefde aan het begin van de bloei van de Griekse beschaving. Hij was de eerste filosoof die wiskunde zag als wetenschap zag. In het jaar 530 v.C. stichtte hij in Croton een school, die ook in ander zuid Italische landen waren gevestigd. Pythagoras en zijn aanhangers hadden een belangrijke invloed op het openbare en het politieke leven, maar zijn daarbij ook op een krachtig verzet gestuit. Tegen het einde van zijn leven moest Pythagoras Crorton verlaten en enkele decennia later vond er een opstand plaats tegen zijn aanhangers. Pythagoras was overtuigd van de onsterfelijkheid van de ziel en hij onderwijs daarom ook reïncarnatie. Dat is ook de reden waarom hij vlees at. Pythagoras religieuze voorstelling kwam waarschijnlijk van oosterse, Indische oorsprong. Hij geloofde in zielsverhuizing. Volgens deze voorstelling maakt de onsterfelijke ziel van de mens een lang louteringsproces door in steeds hernieuwde belichaming waarbij je ook een dierlijk gestalte aan kan nemen. Pythagoras combineerde voor het eerst zijn wiskunde met theologie. Deze combinatie kom je tegen bij Plato, maar ook bij de middeleeuwse theologe, bij Baruch Spinoza en bij Leibniz en later tot zelfs bij kant. Pythagoras heeft steeds een grote invloed op het denken uitgeoefend.
De getallenleer
Bekend is de getallenleer van de oude pythagoreeërs zij namen aan dat de dingen getallen zijn of erop lijken. Het idee dat mooie getalsverhouding iets harmonisch opleveren kon Pythagoras aantonen met een gestreken snaar. Wanneer je een snaar aanraakt en dan de snaar door de helft doet hoor je twee tonen die heel goed samen klinken. Nu zeggen we deze tonen verschillen van octaaf. De lengteverhouding 2.3 is een kwint, en 3,4 is een kwart. ook zijn de tonen consonant (tweeklank). Volgens de pythagoreeërs passen getallen niet allen bij muziek maar ook bij begrippen 4 is gerechtigheid ( 2×2 gelijk maal gelijk), 5 is huwelijk ( eerst een verbinding van even( dat wil zeggen vrouwelijk) met oneven (dat is mannelijk). Het volmaakte getal is 10 ( 1+2+3+4). de oorspronkelijke getallenleer van Pythagoras en de zijn was eigenlijk geen wetenschappelijke wiskunde, maar was eerder een soort toepassing. Later werd het ook gebruikt in de school van Pythagoras net zoals op andere plekken in de Griekse wereld, op wiskundige en wetenschappelijke wijze gebruikt. Wat de pythagoreeërs voornaamste bijdrage was ligt op het gebied van de getallenleer, terwijl zij de meetkunde in het algemeen op rekenkundige wijze werd gedaan daarom wisten ze ook niet de oplossing van de irrationele wortels en getallen. Wat nog belangrijker was deze stelling was echter het uitgangspunt van de pythagoreeërs dat alles bestond uit verhouding van gehele getallen. Langzamerhand drong tot hen door dat hun driehoek niet klopte. Wanner de korte zijde ervan even lang zijn lukt het niet om de verhouding tussen lengte van de korte en van de lange zijde in getallen uit te kunnen drukken. Na jaren vonden ze het bewijs waarom dit onmogelijk was het bestaan van irriationele getallen, een overwinning voor het verstand, een grote mislukking voor de leer. ze deden er alles aan om het geheim te houden. Volgens de overlevering is de leerling van Pythagoras Hippasus die de ontdekking bekend heeft gemaakt maar ze hebben hem om het leven gebracht. Een ander gevolg daarvan was dat de Grieken aan de meetkunde meer voorkeur gaven dan aan de rekenkunde. Pas in de zeventiende eeuw, met de komst van René DDescartes zouden getallen weer de macht hebben. Een andere belangrijke wiskundige stellen waarvan mensen zeggen dat Pythagoras de bedenker van is, is de stelling dat in een driehoek is de som van drie hoeken die altijd gelijk is aan 180°.
De stelling
De stelling van Pythagoras is waarschijnlijk de meeste bekende stelling in de wiskunde.De stelling van Pythagoras is één van de oudste stellingen uit de oudheid. De stelling van Pythagoras geeft een verband tussen de lengten van de zijden van een rechthoekige driehoek. de stelling gaat als volgt je noemt de lengten van rechthoekszijden zijden die aan de hoek van 90°ligt a en b, en de lengte van de schuine zijde ( de zijde die niet aan de rechte hoek grenst) c, dan is de bekende wiskundig vorm van de stelling A²+B²=C². een voorbeeld van de stelling is. je hebt een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden met lengten a=3 en b=4 de schuine zijde heeft lengte c. De stelling gaat als volgt C²=A²+B², 3²+4²=9+16=25, C= √25 =5, dus C=5.
Het bewijs
Er zijn meer dan 300 bewijzen voor de stelling van Pythagoras. Onder deze bewijzen zijn er die zijn ontdekt of herontdekt door belangrijke mensen zoals James Garfield, 20e president van de Verenigde staten, en Multatuli. Hoewel er geen formele bewijzen zijn kan je ook zonder woorden de geldigheid van de stelling bewijzen. Van de stelling van Pythagoras zijn er diverse bewijzen zonder woorden bekend. De bewijzen zijn gemaakt met puzzelstukjes op die manier kan je dus aanduiden of de stelling klopt.
Pythagoras omgekeerd
De omkering van de stelling is ook waar. Met de omgekeerde stelling kan je bereken of een hoek kleiner of gelijk is aan 90° in een driehoek. Met deze methode kijk je altijd naar de hoek tegenover de langste zijden. Als voor een driehoek met zijden a,b,c geldt: C²=A²+B². Dan is die driehoek rechthoekig, met de hoek die er tegenover die zijde C ligt de rechte hoek. Als geldt dat A²+B²>C² dan is de hoek die tegenover C ligt niet scherp, en bij A²+B².
Pythagoras in de ruimte
in ruimtefiguren heb je meestal geen rechthoekige driehoeken, maar je kan ze wel zelf maken. Zo kan je de lengte van de diagonaal over de bodem van een ruimtefiguur met een vierkant of een rechthoekig grondvlak makkelijk uitreken. Het interessante aan de stelling van Pythagoras is dat je deze toegepast kan worden op ander dimensies. Voor ons is dat in de echte wereld betekent dat drie dimensies. bijvoorbeeld een meisje spaart allemaal spulletjes en ze wilt een schoenendoos gebruiken om die daarin te bewaren. Later ziet ze een potlood e voor dat ze het gaat kopen vraagt ze zich af of het in haar schoenen doos past. gelukkig kent ze de afmeting van haar doos dus gaat ze het uitrekenen. De doos is 18cm breed, 28 cm lang en 11 cm hoog. Ze past ze de stelling toe op drie dimensies, ofwel. A²+B²+C²=D² waar a,b en c de breedte, lengte en de hoogte zijn en d is de diagonaal. Nu is de som 18²+28²+11²= D² dat word 342+784+121=D²= 1129 als we de wortel van beide kanten nemen zien we dat de potlood erin past.
